２．相加演算子
　　任意の既約分数 m/n に対し、 演算子 ↑ 及び ↓ を次のように定義する。
　　　　↑m/n=(m+n)/n
　　　　↓m/n= m/(m+n)
このとき、演算の結果得られた (m+n)/n , m/(m+n) もまた既約分数である。

[証明] m/n が既約分数のとき (m+n)/n もまた既約分数であることを証明する。 m/(m+n) の方も全く同様に証明できる。
　　いま (m+n)/n が既約でないと仮定すると、 m+n と n は共通の約数を持つ。 この約数を p（ p≧2 ）とすると、
　　　m+n=ap , n=bp (a,bは自然数)
と書くことができる。すると、m=ap-n=ap-bp=(a-b)p となり、m も約数 p を持つ。 これは、m/n が既約（ m と n が互いに素）であることに反する。 従って、 (m+n)/n は既約でなければならない。（証明おわり）

[証明]
　　演算 ↑ 及び ↓ の逆演算をそれぞれ ↑^ 及び ↓^ とする。すなわち、
　　　↑^m/n=(m-n)/n 　但し、m＞n
　　　↓^m/n= m/(n-m) 　但し、n＞m
このとき、(m-n)/n ，m/(n-m) もやはり既約分数である。また、
　　 ↑↑^m/n=m/n , ↑^↑m/n=m/n 　…�@
　　 ↓↓^m/n=m/n , ↓^↓m/n=m/n 　…�A
　　任意の既約分数 m/n (m/n≠1/1)が与えられたとき、 m＞n 又は n＞m に応じて ↑^ 又は ↓^ を一意的に施すことができる。 こうして得られた新たな既約分数を今 m1/n1 とすると、 m≧m1　かつ　n≧n1　である。 m1/n1 にもまた ↑^ 又は ↓^を施して、次に m2/n2 を得る。 この様な操作を繰り返すと、
　　　m≧m1≧m2≧m3≧m4≧…，　n≧n1≧n2≧n3≧n4≧…
となり、最後に mk/nk=1/1 となる。 つまり、[i]^ で ↑^ 又は ↓^ を表したとして、
　　　 [k]^[k-1]^…[3]^[2]^[1]^m/n=1/1 …�B
が一意的に得られる。 　　さて、次に上の式の1番左の[k]^が ↑^ であれば ↑ を、 ↓^ であれば ↓ を、つまり [k] を両辺に施す。すると、
　　　[k] [k]^[k-1]^…[3]^[2]^[1]^m/n=[k]1/1
であるが、左辺左端の [k] [k]^ は ↑↑^ 又は ↓↓^ であるから、 �@又は�Aから、この部分は無いのと同じになる。 同じ様に [k-1],[k-2],…,[3],[2],[1] をどんどんと施してやると、
　　　[1][2][3]…[k-1][k][k]^[k-1]^…[3]^[2]^[1]^m/n=[1][2][3]…[k-1][k]1/1
左辺はただの m/n になるから、結局
　　　m/n=[1][2][3]…[k-1][k]1/1
が一意的に得られることになる。（証明終わり）

[参考]　
　 　　�Bで示した操作、すなわち↑^ 又は ↓^ を次々と施す操作は実は「ユークリッドの互除法」と全く同じである。 mとnが互いに素であるからこの操作で最後には1/1になったが、 一般の場合には最大公約数を分母分子とする分数に収斂する。 例えば、m/n=6/15 の場合、
　　↑^↓^↓^6/15=3/3
となる。
　　なお、ユークリッドの「互除法」は「相除法」とも言うが、 上で見たとおりここで言う「除法」は加減乗除の除法では無く、 本来は「減法」と言うべきものである。
　　そこで「互除」法の逆演算をここでは「相加」演算と称することにした。