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−　有理数の正しい数え方　−

その２
1997年6月7日
３．有理数と自然数の対応
　　その１によって、任意の有理数（既約分数） m/n は（1/1の左の） ２種類の相加演算子 ↑ 及び ↓ の列（積）で表せることを知った。例えば
　　 5/13⇔↓↓↑↓↑
である。
　　さて、さらに演算子 ↑ を数字「１」に、演算子 ↓ を数字「０」に、 それぞれ置き換え、左端に数字「１」を書き加える。例えば
　　　5/13⇔↓↓↑↓↑⇔１００１０１
である。
この「１００１０１」が、有理数5/13に対応する２進表示の自然数である。 ２進表示の「１００１０１」を10進表示にすれば「３７」である。つまり
　　　5/13⇔↓↓↑↓↑⇔１００１０１⇔３７
　　この方法で、（正の）有理数は自然数と１対１に対応できる。 つまり、有理数を正しく数えることができる。
有理数 相加演算子列 自然数（２進表現） 自然数（１０進表現）
1/1 (なし) 1 1
1/2 ↓ 10 2
2/1
 ↑ 11 3
1/3 ↓↓ 100 4
2/3 ↓↑ 101 5
3/2 ↑↓ 110 6
3/1 ↑↑ 111 7
1/4 ↓↓↓ 1000 8
2/5 ↓↓↑ 1001 9
3/5 ↓↑↓ 1010 10
3/4 ↓↑↑ 1011 11
4/3 ↑↓↓ 1100 12
5/3 ↑↓↑ 1101 13
5/2 ↑↑↓ 1110 14
4/1 ↑↑↑ 1111 15
1/5 ↓↓↓↓ 10000 16
2/7 ↓↓↓↑ 10001 17
3/8 ↓↓↑↓ 10010 18
3/7 ↓↓↑↑ 10011 19
4/7 ↓↑↓↓ 10100 20
5/8 ↓↑↓↑ 10101 21
5/7 ↓↑↑↓ 10110 22
4/5 ↓↑↑↑ 10111 23
5/4 ↑↓↓↓ 11000 24
7/5 ↑↓↓↑ 11001 25
8/5 ↑↓↑↓ 11010 26
7/4 ↑↓↑↑ 11011 27
7/3 ↑↑↓↓ 11100 28
8/3 ↑↑↓↑ 11101 29
7/2 ↑↑↑↓ 11110 30
5/1 ↑↑↑↑ 11111 31
1/6 ↓↓↓↓↓ 100000 32
2/9 ↓↓↓↓↑ 100001 33
3/11 ↓↓↓↑↓ 100010 34
3/10 ↓↓↓↑↑ 100011 35
4/11 ↓↓↑↓↓ 100100 36
5/13 ↓↓↑↓↑ 100101 37
5/12 ↓↓↑↑↓ 100110 38
4/9 ↓↓↑↑↑ 100111 39
5/9 ↓↑↓↓↓ 101000 40
7/12 ↓↑↓↓↑ 101001 41
8/13 ↓↑↓↑↓ 101010 42
7/11 ↓↑↓↑↑ 101011 43
7/10 ↓↑↑↓↓ 101100 44
8/11 ↓↑↑↓↑ 101101 45
7/9 ↓↑↑↑↓ 101110 46
5/6 ↓↑↑↑↑ 101111 47
6/5 ↑↓↓↓↓ 110000 48
9/7 ↑↓↓↓↑ 110001 49
11/8 ↑↓↓↑↓ 110010 50
10/7 ↑↓↓↑↑ 110011 51
11/7 ↑↓↑↓↓ 110100 52
13/8 ↑↓↑↓↑ 110101 53
12/7 ↑↓↑↑↓ 110110 54
9/5 ↑↓↑↑↑ 110111 55
9/4 ↑↑↓↓↓ 111000 56
12/5 ↑↑↓↓↑ 111001 57
13/5 ↑↑↓↑↓ 111010 58
11/4 ↑↑↓↑↑ 111011 59
10/3 ↑↑↑↓↓ 111100 60
11/3 ↑↑↑↓↑ 111101 61
9/2 ↑↑↑↑↓ 111110 62
6/1 ↑↑↑↑↑ 111111 63
… … … …
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